\(f\left(x\right)=\left(m-4\right)x^2+\left(m+1\right)x+2m-1\)

\(f\left(x\right)< 0,\forall x\in R\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a< 0\\\Delta< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-4< 0\\\left(m+1\right)^2-4\left(m-4\right)\left(2m-1\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 4\\m^2+2m+1-4\left(2m^2-m-8m+4\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m+1-8m^2+36m-16< 0\)

\(\Leftrightarrow-7m^2+38m-15< 0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 4\\\left[{}\begin{matrix}m< \dfrac{3}{7}\\m>5\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(KL:m\in\left(5;+\infty\right)\)

Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt hay dương phân biệt bạn?

Hay hai nghiệm trái dấu?

Để pt có 2 nghiệm dương pb \(\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\\Delta>0\\x_1+x_2=-\frac{b}{a}>0\\x_1x_2=\frac{c}{a}>0\end{matrix}\right.\)

a/ \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(3m-3\right)>0\\x_1+x_2=-2\left(m-1\right)>0\\x_1x_2=3\left(m-1\right)>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)\left(m-4\right)>0\\m< 1\\m>1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Không tồn tại m thỏa mãn

b/ \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left(m-2\right)^2-4\left(m-1\right)>0\\x_1+x_2=2-m>0\\x_1x_2=m-1>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-8m+8>0\\m< 2\\m>1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow1< m< 4-2\sqrt{2}\)

c/

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left(m-2\right)^2-4\left(m+1\right)>0\\x_1+x_2=2-m>0\\x_1x_2=m+1>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-8m>0\\m< 2\\m>-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow-1< m< 0\)

d/

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left(m-3\right)^2+4\left(m+1\right)>0\\x_1+x_2=3-m>0\\x_1x_2=-m-1>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-2m+13>0\\m< 3\\m< -1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m< -1\)

e/

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=\left(m-1\right)^2-4\left(m-1\right)>0\\x_1+x_2=\frac{1-m}{2}>0\\x_1x_2=\frac{m-1}{4}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)\left(m-5\right)>0\\m< 1\\m>1\end{matrix}\right.\)

Không tồn tại m thỏa mãn

f/

\(\left\{{}\begin{matrix}m-2\ne0\\\Delta'=\left(m-2\right)^2-\left(m-2\right)>0\\x_1+x_2=2>0\\x_1x_2=\frac{1}{m-2}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne2\\\left(m-2\right)\left(m-3\right)>0\\m-2>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m>3\)

1a.

\(y'=3x^2.f'\left(x^3\right)-2x.g'\left(x^2\right)\)

b.

\(y'=\dfrac{3f^2\left(x\right).f'\left(x\right)+3g^2\left(x\right).g'\left(x\right)}{2\sqrt{f^3\left(x\right)+g^3\left(x\right)}}\)

2.

\(f'\left(x\right)=\left(m-1\right)x^3+\left(m-2\right)x^2-2mx+3=0\)

Để ý rằng tổng hệ số của vế trái bằng 1 nên pt luôn có nghiệm \(x=1\), sử dụng lược đồ Hooc-ne ta phân tích được:

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[\left(m-1\right)x^2+\left(2m-3\right)x-3\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\\left(m-1\right)x^2+\left(2m-3\right)x-3=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Xét (1), với \(m=1\Rightarrow x=-3\)

- Với \(m\ne1\Rightarrow\Delta=\left(2m-3\right)^2+12\left(m-1\right)=4m^2-3\)

Nếu \(\left|m\right|< \dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\) (1) vô nghiệm \(\Rightarrow f'\left(x\right)=0\) có đúng 1 nghiệm

Nếu \(\left|m\right|>\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm \(\Rightarrow f'\left(x\right)=0\) có 3 nghiệm

Do \(a=1>0\) nên \(f\left(x\right)\ge0;\forall x\) khi:

\(\Delta'=\left(m-3\right)^2-4m\le0\)

\(\Leftrightarrow m^2-10m+9\le0\)

\(\Rightarrow1\le m\le9\)

\(f\left(x\right)>0,\forall x\in R\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\Delta< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+1>0\\\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4\left(m+1\right)\left(-m+4\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\4\left(m^2-2m+1\right)-4\left(-m^2+4m-m+4\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4+4m^2-12m-16< 0\)

\(\Leftrightarrow8m^2-20m-12< 0\)

\(KL:m\in\left(-1;3\right)\)

  f(x) = (m+1)x² - 2(m+1)x + 2m+3 

♠ m = -1: f(x) = 0.x² - 0.x + 1 = 1 > 0 với mọi x nên f(x) ≥ 0 có nghiệm x thuộc R 

♠ m # -1, có ∆' = (m+1)² - (m+1)(2m+3) = -(m+1)(m+2) 
ta biện luận theo dấu của delta': 
m│ -∞________ -2 _________ -1 ________ +∞ 
∆ │≈≈≈≈≈ - ≈≈≈≈ 0 ≈≈≈≈ + ≈≈≈≈ || ≈≈≈≈ - ≈≈≈≈≈≈ 

* nếu m < -2 => ∆' < 0, m+1 < 0 => f(x) < 0 với mọi x nên f(x) ≥ 0 vô nghiệm 

* nếu m = -2 <=> ∆' = 0 và m+1 < 0 <=> f(x) ≤ 0 với mọi x thuộc R 
=> f(x) ≥ 0 có nghiệm x = 2 (còn dính đc chổ có dấu "=" ) 

* -2 < m < -1 <=> ∆' > 0 ; f(x) có 2 lần đổi dấu => f(x) ≥ 0 có nghiệm 

* nếu m > -1 => ∆' > 0 và m+1 > 0 => f(x) > 0 với mọi x => f(x) ≥ 0 có nghiệm 

Tóm lại các trường hợp: bpt f(x) ≥ 0 có nghệm khi và chỉ khi m ≥ -2 
~~~~~~~~~~ 
Cách khác: giải ngược lại ta tìm m để bpt f(x) ≥ 0 vô nghiệm 
tức là f(x) < 0 với mọi x thuộc R 
* nếu m = -1 thì như trên f(x) ≥ 0 có nghiêm 

* nếu m # -1, f(x) < 0 với mọi x thuộc R khi và chỉ khi 
{ ∆' < 0 
{ m+1 < 0 
<=> { m < -2 hoăc m > -1 
----- { m < -1 
<=> m < -2 
Vậy bpt f(x) ≥ 0 có nghiệm khi và chỉ khi m ≥ -2